Een veelvoorkomend type vergelijking is de tweedegraadsvergelijking, ook vierkantsvergelijking genoemd. Deze is van de vorm:

ax² + bx + c = 0

waarin a, b en c getallen zijn, a ≠ 0 en x de onbekende. Deze vergelijking kan opgelost worden met de abc-formule:

x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ $-$ b ± b 2 − 4 a c 2 a

Dit is een korte aanduiding van de oplossingen x₁ en x₂, voor zover deze bestaan:

x₁ = $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ $-$ b + b 2 − 4 a c 2 a en x₂ = $\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ $-$ b − b 2 − 4 a c 2 a

b² – 4ac < 0 $⟶$ $⟶$ GEEN oplossingen

b² – 4ac = 0 $⟶$ $⟶$ één oplossing (x₁ = x₂)

b² – 4ac > 0 $⟶$ $⟶$ twee verschillende oplossingen

De uitdrukking b² – 4ac bepaalt dus hoeveel oplossingen er zijn en wordt daarom de discriminant van de vierkantsvergelijking genoemd.

Voorbeelden:

1) x² + 3x = 4

Herleiden op 0 levert: x² + 3x – 4 = 0 (met dus a = 1, b = 3 en c = -4)

b² – 4ac = 9 + 16 = 25

De oplossingen zijn x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$ $-$ 3 ± 25 2

Dus: x₁ = 1 en x₂ = -4

2) 3x² - 10 = 0

a = 3, b = 0 en c = -10

b² – 4ac = 0 + 120 = 120

De oplossingen zijn x_1,2 = $\frac{\pm \sqrt{120}}{6}$ $\pm$ 120 6 = $\frac{\pm 2 \sqrt{30}}{6}$ $\pm$ 2 30 6

Dus: x₁ = $\frac{1}{3}$ $1$ 3√30 en x₂ = - $\frac{1}{3}$ $1$ 3√30

3) 2x² + 6x – 7 = 0

a = 2, b = 6 en c = -7

b² – 4ac = 36 + 56 = 92

De oplossingen zijn x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{92}}{4} = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{23}}{4}$ $-$ 6 ± 92 4 = − 6 ± 2 23 4

Dus: x₁ = -1 $\frac{1}{2}$ $1$ 2 + $\frac{1}{2}$ $1$ 2√23 en x₂ = -1 $\frac{1}{2}$ $1$ 2 - $\frac{1}{2}$ $1$ 2√23

4) 2x² + 6x = -7

Herleiden op 0 levert: 2x² + 6x + 7 = 0

De oplossingen zijn x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 56}}{4} = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 20}}{4}$ $-$ 6 ± 36 − 56 4 = − 6 ± − 20 4

De discriminant is negatief en de vergelijking heeft dus geen oplossingen

5) x² + 3x√2 - 8 = 0

De oplossingen zijn x_1,2 = $\frac{- 3 \sqrt{2} \pm \sqrt{18 + 32}}{2} = \frac{- 3 \sqrt{2} \pm 5 \sqrt{2}}{2}$ $-$ 3 2 ± 18 + 32 2 = − 3 2 ± 5 2 2

Dus: x₁ = $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ en x₂ = -4 $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$

6) 5x² - 3x = 0

De oplossingen zijn x_1,2 = $\frac{3 \pm \sqrt{9 - 0}}{10} = \frac{3 \pm 3}{10}$ $3$ ± 9 − 0 10 = 3 ± 3 10

Dus: x₁ = 3/5 en x₂ = 0

Oefeningen

1) oefeningenreeks 1